ファインマンの経路積分

「粒子は全ての経路を同時に進む」

ディラックのアイデアをファインマンが1948年に完成させた。

量子力学では粒子がAからBへ伝播する確率振幅 $K(B,A)$ を求める。

ニュートン力学なら最小作用の経路を1本選ぶ。量子力学では——

自由粒子の伝播関数

最も単純な例：ポテンシャルなし（$V=0$）の場合。

経路積分を実行すると：

$K(x_b, t_b; x_a, t_a) = \sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar \Delta t}} \exp\left(\frac{im(x_b-x_a)^2}{2\hbar \Delta t}\right)$

これはガウシアンで——時間が経つとガウシアンが広がる = 波束の拡散。

古典極限：最小作用の回復

$\hbar \to 0$ の極限：

位相 $e^{iS/\hbar}$ は急激に振動する。静止位相近似により、$\delta S = 0$ の経路（古典軌道）のみが建設的干渉で残る。

$\delta S = 0 \implies \text{オイラー・ラグランジュ方程式（古典力学）}$

量子力学 → 古典力学の自然な接続。

虚時間経路積分と統計力学

$t \to -i\tau$（ウィック回転）とすると：

$e^{iS/\hbar} \to e^{-S_E/\hbar}$

$S_E$：ユークリッド作用。これはボルツマン因子 $e^{-\beta H}$（$\beta = 1/k_BT$）と同じ形！